để phương trình có nghiệm dương

duongleteach.com là một website giáo dục, chuyên khoa Ngữ văn cấp 2-3, do nhóm giáo viên, nghiên cứu giáo dục đảm nhiệm viết bài.Chúng tôi biên soạn website này nhằm tạo một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho người đọc trên nguyên tắc khoa học, dân tộc, đại chúng. I. Kiến thức cần nhớ về hệ thức Vi-ét và các ứng dụng. Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được usogorsk.com biên soạn và giới - Điều kiện để PT bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương: - Với yêu cầu pt bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương thì đề bài toán thường cho có chứa tham số m. * Ví dụ: Cho phương trình: 2x 2 + 2(2m + 1)x + 2m 2 + m - 1 = 0, (m là tham số) (*) Tìm m để phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm dương. Do đó: a>4 thì phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm dương. No comments: Tìm m để Phương trình: x 4 -2x 2 -m=0 có 4 nghiệm phân biệt. Để phương trình bậc 2 có đúng 1 nghiệm âm có thể xảy ra các trường hợp như, phương trình bậc 2 có nghiệm dạng: x1 < 0 < x2; hoặc x1 = 0, x2 < Breaking News Bài 5 trang 48 SGK Hoá 9: Tính chất vật lí của kim loại Tous Les Sites De Rencontre En France. Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là ” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”. Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là ” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”. ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9 Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm phương trình bậc 2, định lý Vi-ét, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình. Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là ” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”. A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0a\ne 0\] có nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thì \[S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};\] \[P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\]. Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 – Có 2 nghiệm dương là \[\Delta \ge 0;P>0;S>0\] – Có 2 nghiệm âm là \[\Delta \ge 0;P>0;S – Có 2 nghiệm trái dấu là \[P0. B- So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số I/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0 Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 \[a{{x}^{2}}+bx+c=0a\ne 0\] có ít nhất một nghiệm không âm. VD1 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm \[{{x}^{2}}+mx+2m-4=0\] 1 Cách 1 \[\Delta ={{m}^{2}}-42m-4={{m-4}^{2}}\ge 0\] \[\forall m\] khi đó phương trình có 2 nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[P=2m-4;S=-m\] Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình 1 có hai nghiệm đều âm. Điều kiện đó là Vậy điều kiện để phương trình 1 có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\le 2\]. Cách 2 \[\Delta ={{m}^{2}}-42m-4={{m-4}^{2}}\ge 0\forall m\]; \[P=2m-4;S=-m\]. - Nếu \[P\le 0\]\[\Leftrightarrow m\le 2\], thì phương trình 1 tông tại nghiệm không âm. - Nếu \[P>0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m Ví dụ 2 Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2m+3x+4m-1=0\] 2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương. Giải Phương trình 2 có hai nghiệm dương II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0 Ví dụ 1 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 \[{{x}^{2}}+mx+1=0\] 1 Cách 1 Đặt y = x – 2 \[\Rightarrow x=y+2\] thay vào phương trình 1, ta được \[{{\left y+2 \right}^{2}}+m\left y+2 \right-1=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left 4+m \righty+3-2m=0\] 2 Ta cần tìm nghiệm m để phương trình 2 có ít nhất một nghiệm không âm. \[\Delta ={{\left m+4 \right}^{2}}-4\left 2m+3 \right={{m}^{2}}+4>0\forall m\] \[P=2m+3;S=-\left m+4 \right\]. Điều kiện để phương trình 2 có 2 nghiệm đều âm là Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình 2 có ít nhất một nghiệm không âm tức là 1 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2. Cách 2 Giải phương trình 1 ta được \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]. Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có \[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] 3 - Nếu \[m\le -4\] thì 3 có vế phải âm, vế trái dương nên 3 đúng. - Nếu \[m>-4\] thì 3 \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\]. Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m. Ví dụ 2 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 \[3{{x}^{2}}-4x+2\left m-1 \right=0\] 1 Giải Cách 1 đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào 1 ta được \[3{{\left y+2 \right}^{2}}-4\left y+2 \right+2\left m-1 \right=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] 2 Cần tìm m để phương trình 2 có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện Kết luận Với \[-1 Cách 2 Xét phương trình 1. Giải điều kiện Giải 2 được \[m Giải 3 \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-2\left {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right+4>0\Leftrightarrow \frac{2\left m-1 \right}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\] Giải 4 \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4 Vậy ra được \[-1 Cách 3 giải phương trình 1 \[{{\Delta }^{'}}=4-6\left m-1 \right=10-6m\] Nếu \[{{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m \[{{x}_{1}}=\frac{2-\sqrt{10-6m}}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{2+\sqrt{10-6m}}{3}\] Do \[{{x}_{1}} \[{{x}_{2}}-1\] Vậy ta được \[-1 III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 Ví dụ 1 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm \[{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0\] 1 Giải Đặt \[{{x}^{2}}=y\ge 0\]. Điều kiện để phương trình 1 có nghiệm là phương trình \[{{y}^{2}}+my+2m-4=0\] có ít nhất một nghiệm không âm. Theo kết quả ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là \[m\le 2\] Ví dụ 2 TÌm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình \[x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=m\] 1 chỉ có 1 phần tử Giải Do đó tập nghiệm của phương trình 1 chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình 2 thoản mãn điều kiện \[x\ge m\]. Đặt x –m =y. Khi đó phương trình 2 trở thành \[2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0\] 3 Cần tìm m để có một nghiệm của phương trình 3 thỏa mãn \[y\ge 0\]. Có 3 trường hợp xảy ra a Phương trình 3 có nghiệm kép không âm b Phương trình 3 co s2 nghiệm trái dấu \[P c Phương trình 3 có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0 Kết luận \[m=-\sqrt{2}\] hoặc \[-1 Ví dụ 3 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt \[x\left x-2 \right\left x+2 \right\left x+4 \right=m\] 1 Giải 1 \[\Leftrightarrow \left {{x}^{2}}+2x \right\left {{x}^{2}}+2x-8 \right=m\] Đặt \[{{x}^{2}}+2x+1=y\ge 0\], khi đó 1 trở thảnh \[\left y-1 \right\left y-9 \right=m\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y+\left 9-m \right=0\] 2 Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x. Do đó 1 có 4 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \]2 có 2 nghiệm dương phân biệt. Do đó, ở 2 ta phải có Bài tập đề nghị Bài 1 Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình \[{{x}^{2}}-2x+\left m-2 \right=0\] Bài 2 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \[{{x}^{2}}+2m\left x-2 \right-4x+{{m}^{2}}+3=0\] Bài 3 Tìm các giá trị của m để phương trình \[\left m-1 \right{{x}^{2}}-\left m-5 \rightx+\left m-1 \right=0\] có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1. Bài 4 Tìm các giá trị của m để phương trình \[{{x}^{2}}+mx-1=0\] có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2. Bài 5 Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình \[{{x}^{4}}-2\left m-1 \right{{x}^{2}}-\left m-3 \right=0\] a Có 4 phần tử. b Có 3 phần tử. c Có 2 phần tử. d Có 1 phần tử. Bài viết gợi ý Phương trình có nghiệm là gì? Định nghĩa phương trình có nghiệmCông thức tổng quátĐiều kiện để phương trình có nghiệmĐiều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệmĐiều kiện để hệ phương trình có nghiệmĐiều kiện để phương trình lượng giác có nghiệmCác dạng toán điều kiện phương trình có nghiệmDạng 1 Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm Dạng 2 Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2Dạng 3 Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bàiPhương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé! Định nghĩa phương trình có nghiệm Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng fx_{1}, x_{2},… = gx_{1}, x_{2},… 1 hx_{1}, x_{2},… = fx_{1}, x_{2},… – gx_{1}, x_{2},… 2 hx_{1}, x_{2},… = 0 3 ax^{2} + bx + c = 0 4 Trong đó x_{1}, x_{2},… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình 1 có fx_1,x_2,… là vế trái, gx_1,x_2,… là vế phải. Ở 4 ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến. Nghiệm của phương trình là bộ x_{1}, x_{2},… tương ứng sao cho khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau. Công thức tổng quát Phương trình fx = 0 có a đươcj gọi là nghiêm của phương trình khi và chỉ khi left{begin{matrix} x = a\ fa = 0 end{matrix}right., điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như fx,y,z,.. = 0, ain S Leftrightarrow left{begin{matrix} x = a\ y = b\ z = c\ fa,b,c = 0 end{matrix}right. Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu S = left { x,y,z,…left. right }right. Điều kiện để phương trình có nghiệm Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc 2 ax^{2} + bx + c = 0 aneq 0 có nghiệm x_{1}, x_{2} thì S = x_{1} + x_{2} = frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = frac{c}{a} Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 Có 2 nghiệm dương là Delta geq 0; P> 0; S> 0 Có 2 nghiệm âm là Delta geq 0; P> 0; S0\ S>0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} m+3^{2} – 4m-1geq 0\ 4m-1>0\ 2m+3>0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} m+1^{2} + 9 > 0 forall m\ m>frac{1}{4}\ m>-3 end{matrix}right. Leftrightarrow m>frac{1}{4} Dạng 2 Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 Ví dụ 2 Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0 1 Cách giải Đặt x^{2} = y geq 0. Điều kiện để phương trình 2 có nghiệm là phương trình y^{2} + my + 2m – 4 = 0 3 có ít nhất một nghiệm không âm. Ta có Delta = m^{2} – 42m-4 = m-4^{2} geq 0 với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm x_{1}, x_{2} thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m Điều kiện để phương trình 1 có hai nghiệm đều âm là left{begin{matrix} P>0\ S0\ -m2\ m>0 end{matrix}right. Leftrightarrow m>2 Vậy điều kiện để phương trình 3 có ít nhất một nghiệm không âm là mleq 2 Rightarrow phương trình 2 có nghiệm khi mleq 2 Dạng 3 Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài Ví dụ 3 Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên left{begin{matrix} mx + 2y = m + 1\ 2x + my = 2m – 1 end{matrix}right. Cách giải Từ phương trình thứ nhất ta có y = frac{m+1-mx}{2} Thay vào phương trình thứ hai ta được 2x + mfrac{m+1-mx}{2} = 2m-1 Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2 xm^{2} – 4 = m^{2} – 3m -2 Leftrightarrow xm-2m+2 = m – 2m – 1 Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm Nếu left{begin{matrix} mneq 2\ mneq -2 end{matrix}right. thì x = frac{m-1}{m+2} thì phương trình có nghiệm duy nhất. Thay trở lại phương trình y = frac{m+1-mx}{2} = frac{2m+1}{m+2} left{begin{matrix} x = frac{m-1}{m+2} = 1- frac{3}{m+2}\ y = frac{2m+1}{m+2} = 2-frac{3}{m+2} end{matrix}right. Ta cần tìm min mathbb{Z} sao cho x,yin mathbb{Z} Nhìn vào công thức nghiệm ta có frac{3}{m + 2}in mathbb{Z} Leftrightarrow m + 2in left { -1,1,3,-3right } Leftrightarrow min left { -3,-1,1,5 right } Các giá trị này thỏa mãn left{begin{matrix} m neq 2\ mneq -2 end{matrix}right. Vậy min left { -3,-1,1,5 right } Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt! Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây Nguồn Xem thêm Tìm m để hàm số có 3 cực trị Lý thuyết và Các dạng bài tập Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy – Chuyên đề ba đường thẳng đồng quy Tổng hợp toàn bộ các công thức toán 12 quan trọng thi THPT quốc gia Chuyên review khóa học online tốt nhất hiện nay. Chia sẻ kinh nghiệm học online

để phương trình có nghiệm dương